数理物理学Ⅱ 演習問題2

問1　固有値・固有ベクトル
　単純な線形代数学の問題です。

問2 固有値・固有ベクトル
　問1の3×3行列バージョンで、基本的な計算は同じです。

問3 ばねで繋がった振り子
　(a)の運動方程式を立てる際、本来は変位はlsinxと書きますが、x<<1であればsinx≒xと近似できるので、それを用いて書いていきます。基準座標を求めるときは、問1での(c)の考えを利用します。

問4 直線上のN個の振り子の解析
　振り子の個数がN個ありますが、とりあえず1個の振り子の運動に着目します。この系の中での例外は、1番目とN番目の振り子で、この2つだけ片方しか繋がっていません。この場合は、0番目、N＋1番目を仮定してやることで他の振り子と同じ式で扱うことができます。 (c)では、解を振動解で仮定して代入し、差分方程式(漸化式)を求めます。 (d)の、振動数と波数の関係のことを分散関係とよびます。波動を扱う分野では頻出の用語です。一般解を求めるところでは、1つに対する一般解を求めたあと、全個数分重ね合わせてやれば全体の一般解になります。

問5　円環状のN個の振り子の解析
　解き始めは問4と同じです。ただし円環状に繋がっているので、問4で仮定した0番目の振り子はN番目の振り子、N＋1番目の振り子は1番目の振り子に相当します。このような条件を「周期的境界条件」(periodic boundary condition)と言います。大体の計算は問4と同じように進めていきます。一般解はcos関数で書けます。

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